Объём конуса

Конус и его сечение плоскостью

Перу древнегреческого математика Аполлония Пергского принадлежит теоретический труд «Конические сечения». Благодаря его работам в геометрии появились определения кривых: параболы, эллипса, гиперболы. Рассмотрим, причем здесь конус.

Возьмем прямой круговой конус. Если плоскость пересекает его перпендикулярно оси, то в разрезе образуется круг. Когда секущая пересекает конус под углом к оси, то в разрезе получается эллипс.

Секущая плоскость, перпендикулярная основанию и параллельная оси конуса, образует на поверхности гиперболу. Плоскость, разрезающая конус под углом к основанию и параллельная касательной к конусу, создает на поверхности кривую, которую назвали параболой.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S. Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’₁ занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π₂. Соответственно, S’’5’’₁ – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S16, S65, S54, S43, S32, S21. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S16 длина S1=S’’1’’, S6=S’’6’’₁, 16=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’₁, SC=S’’C’’₁.
3. Находим положение точек A, B, C на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки SA=S’’A’’, SB=S’’B’’₁, SC=S’’C’’₁.
4. Соединяем точки A, B, C плавной линией.

Что ещё можно сделать из бумажного конуса?

Бумажную заготовку для конуса можно использовать, чтобы сделать упаковку для сладкого подарка. Для этого на края, с внутренней стороны, добавляют кусочки двустороннего скотча, или же просто промазывают клеем.

Затем на эти участки помещаются листы гофрированной бумаги.

• Чтобы она красиво легла, нужно делать небольшие складки.
• После этого заготовка с бумагой склеивается в конус.
• Внутрь поделки помещаются конфеты или другие предметы, а гофрированный лист сверху завязывается ленточкой, образуя мешочек.
• На готовую упаковку можно добавить и другие декоративные элементы.

Бумажный конус можно использовать и для других поделок. Например, если делать его из плотного картона, то затем, с помощью ткани, получится создать вот такие игрушки животных или елочное украшение.

Построение развёртки цилиндра[править]

Цилиндрправить

Цилиндр

Тело вращения с наиболее простой развёрткой, имеющей форму прямоугольника, где две параллельные стороны соответствуют высоте цилиндра, а две другие параллельные стороны — длине окружности оснований цилиндра.

Усечённый цилиндр (рыбина)править

Усечённый цилиндр

Подготовка:

• Для создания развёртки, начертим четырёхугольник ACDE в натуральную величину (см.чертёж).
• Проведём перпендикуляр BD, из плоскости AC в точку D, отсекая от построения прямую часть цилиндра ABDE, которую можно достроить по мере надобности.
• Из центра плоскости CD (точка O) проведём дугу, радиусом в половину плоскости CD, и разделим её на 6 частей. Из получившихся точек O, проведём перпендикулярные прямые к плоскости CD. Из точек на плоскости CD, проведём прямые, перпендикулярные к плоскости BD.

Построение:

• Отрезок BC переносим, и превращаем в вертикаль. Из точки B, вертикали BC, проводим луч, перпендикулярный вертикали BC.
• Циркулем снимаем размер C-O₁, и откладываем на луче, из точки B, точку 1. Снимаем размер B₁-C₁, и откладываем перпендикуляр из точки 1.
• Циркулем снимаем размер O₁-O₂, и откладываем на луче, из точки 1, точку 2. Снимаем размер B₂-C₂, и откладываем перпендикуляр из точки 2.
• Повторять, пока не будет отложена точка D.
• Получившиеся вертикали, из точки C, вертикали BC, до точки D — соединить лекальной кривой.
• Вторая половина развёртки зеркальна.

Подобным образом строятся любые цилиндрические срезы. Примечание: Почему «Рыбина» — если продолжить построение развёртки, при этом половину построить от точки D, а вторую в обратную сторону от вертикали BC, то получившийся рисунок, будет похож на рыбку, или рыбий хвост.

Чертёж: «Усечённый цилиндр»

Основы и инструмент[править]

• Все нижеописанные действия выполняются на бумаге, при помощи линейки, карандаша и циркуля. Рекомендуется комплект лекал, для повышения точности и качества развёрток.
• При изготовлении развёрток на металле используется метровая линейка, чертилка, циркуль по металлу, комплект лекал, молоток и керно, для отметки узловых точек.
• Длина окружности считается по формуле:

l=2ΠR{\displaystyle l=2\Pi \mathbb {R} }
илиl=Π D{\displaystyle l=\Pi ~D}
Где:R {\displaystyle R~} — радиус окружности,D {\displaystyle D~} — диаметр окружности,l {\displaystyle l~} — длина окружности,Π {\displaystyle \Pi ~} — Число Пи (Pi),
Как правило, для вычисления используется значение Π {\displaystyle \Pi ~} (Pi) до второго знака (3,14), но в некоторых случаях, этого может быть недостаточно.

• Усечённый конус с доступной вершиной: Конус, при построении которого можно определить положение вершины.
• Усечённый конус с недоступной вершиной: Конус, при построении которого положение вершины определить затруднительно, в виду её удалённости.
• Триангуляция: способ построения разверток поверхностей неразвертывающихся, конических, общего вида и с ребром возврата.
• Восстановление размера: Многие размеры трёхмерного объекта, при проецировании в двумерную плоскость, оказываются мнимыми, поэтому их приходится восстанавливать по правилу треугольника: «Если известны две стороны — то можно получить третью». В этих случаях применяется прямая, с вертикалью, верхняя точка вертикали соответствует высоте объекта. Если из точки пересечения (на нижеследующих чертежах — точка O) отложить на прямой размер снятый с вида сверху — то размер из полученной из точки до вершины вертикали (на нижеследующих чертежах — точка O₁) — является истинным.
• Следует помнить: Независимо от того, является рассматриваемая поверхность развертываемой или неразвертываемой, графически может быть построена только приближенная развертка. Это объясняется тем, что в процессе снятия и откладывания размеров и выполнения других графических операций неизбежны погрешности, обусловливаемые конструктивными особенностями чертежных инструментов, физическими возможностями глаза и погрешностями от замены дуг хордами и углов на поверхности плоскими углами. Приближенные развертки кривых не-развертывающихся поверхностей, кроме графических погрешностей, содержат погрешности, полученные за счет несовпадения элементов таких поверхностей с плоскими аппроксимирующими элементами. Поэтому для получения поверхности из такой развертки, кроме изгибания, необходимо произвести частичное растяжение и сжатие отдельных ее участков. Приближенные развертки при тщательном выполнении обладают точностью, достаточной для практических целей.

Представленный в статье материал, подразумевает, что вы имеете представление об основах черчения, умеете делить окружность, находить центр отрезка при помощи циркуля, снимать/переносить размеры циркулем, пользоваться лекалами, и соответствующим справочным материалом. Потому, объяснение многих моментов в статье опущено.

Уклоны и конусность — Техническое черчение

• Уклоном прямой ВС относительно прямой AB (фиг. 57, а) называется отношение:
• i=AC/AB=tga
• Конусностью называется отношение разности диаметров двух попе­речных сечений конуса к расстоянию между ними (фиг. 57,б)
• k=(D-d)/l=2tga
• Таким образом,
• k = 2i
• Уклон и конусность могут быть указаны: а) в градусах; б) дробью простой, в виде отношения двух чисел или десятичной; в) в процентах.
• Например: конусность, выраженная в градусах — 11°25’16″; отношением —  1:5; дробью —0,2; в процентах — 20%, и соответственно этому уклон в градусах — 5°42’38″; отношением — 1:10; дробью—0,1; в процентах —  10%.
• Для конусов, применяемых в машиностроении, OCT/BKC 7652 устанавливает следующий ряд нормальных конусностей — 1 :3; 1 :5; 1 :8; 1 : 10; 1 :15; 1:20; 1 :30; 1:50; 1 :100; 1:200, а также 30, 45, 60, 75, 90 и 120°.
• Допускаются в особых случаях также конусности 1:1,5; 1:7; 1:12 и 110°.

Если требуется через точку Л, лежащую на прямой AB (фиг. 57, в), провести прямую с уклоном i=l:n относительно AB, надо отложить от точки А по направлению данной прямой n произвольных единиц; в конце полученного отрезка AB восстановить перпендикуляр ЕС длиной в одну такую же единицу. Гипотенуза AС построенного прямоугольного треугольника определяет искомую прямую.

1. Для проведения прямой заданного уклона l:n через точку M, не лежащую на данной прямой AB, можно поступать двояко (фиг. 58):
2. 1)    построить в стороне прямоугольный треугольник KLN (или KLN1) с отношением катетов l:n, причём катет KL ll AB; затем через точку M провести искомую прямую MD (или MD1) параллельно гипотенузе вспомогательного треугольника KN (или LN1);

2)    опустить из точки M перпендикуляр ME на прямую AВ и при­нять его за единицу. По направлению прямой AB влево или вправо от точки E отложить n таких же отрезков; гипотенузы DM или MD1 по­строенных таким образом прямоугольных треугольников являются иско­мыми прямыми.

Построение конусности l:n относительно данной оси сводится к построению уклонов l:n/2 с каждой стороны оси.

Уклон или конусность чаще всего указывается в процентах или отношением единицы к целому числу. Рассмотрим эти способы построе­ния на примерах.

Пример 1. Требуется построить профиль сечения швеллера № 5 ОСТ 10017-39 (фиг. 59, а), если известно, что уклон его полок равен 10%

Размеры для построения берём из ОСТ 10017-39.

Проводим вертикальную прямую ek, равную h = 50 мм. Из точек e и k проводим прямые ec и kf, равные ширине полки b = 37 мм.

Ввиду того, что обе полки швеллера одинаковы, ограничимся построе­нием только одной из них. Откладываем на прямой ec от точки с отре­зок cm, равный (b-d)/2.

В точке m на перпендикуляре к прямой ec от­кладываем отрезок mn, равный t = 7 мм. Через точку n проводим прямую np параллельно ec, равную 50 мм.

• Перпендикулярно к np из точки p проводим отрезок ps, равный по длине десяти процентам отрезка np. Величина его определяется из от­ношения:
• ps/np=10/100,
• откуда
• ps=10*50/100=5 мм.

Прямая sn является искомой прямой, имеющей уклон 10% по отно­шению к ec. Дальнейшее построение профиля не представляет затруд­нений.

Отрезок np можно взять любой длины. Чем больше его величина, тем точнее будет построена прямая уклона. Однако для удобства вы­числения следует принимать отрезок np таким, чтобы длина его, выра­жаемая в миллиметрах, оканчивалась на 0 или 5.

П p и м e p 2. Построить профиль сечения двутавра № 10 ОСТ 10016-39 (фиг. 59, б), если известно, что уклон полок его равен 1:6. Размеры для построения берём из ОСТ 10016-39.

Проводим горизонтальную прямую cc, равную ширине полки b = = 68 мм. Через точку e, являющуюся серединой ширины полки, прово­дим вертикальную линию. Откладываем от точки с отрезок mс, равный

(b-d)/4. В точке m, перпендикулярно к отрезку cc, проводим прямую и

на ней откладываем отрезок mn, равный t=6,5 мм. Через точку n проводим горизонтальную прямую np, равную 30 мм, которая будет служить катетом прямоугольного треугольника. Чем длиннее катет, тем точнее будет построен уклон. Для удобства принимают длину отрезка np кратной шести, тогда второй катет будет равен целому числу. Вели­чина второго катета определяется из формулы

1. i=ps/np=1/6
2. где i — заданный уклон.
3. Подставив в формулу числовые значения, получим
4. ps=30/6=5 мм.

Откладываем в точке p под углом 90° к прямой np вычисленную длину второго катета, получим точку 5. Проводим через точки s и n прямую, которая и будет соответствовать искомой прямой, имеющей уклон 1 :6.

Построение сопряжений такое же, как и для швеллера в предыду­щем примере.

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников. Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник SAB. Длины его сторон SA и SB равны образующей l конической поверхности. Величина AB соответствует длине A’B’. Для построения треугольника SAB в произвольном месте чертежа откладываем отрезок SA=l, после чего из точек S и A проводим окружности радиусом SB=l и AB= A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B с точками A и S.

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Определение диаметра через объем и высоту

Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:

Здесь S — площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:

Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:

Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.

Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.

1 Область применения

Настоящий стандарт распространяется на применяемые в машиностроении конусности и углы конусов гладких конических элементов деталей и устанавливает ряды нормальных конусностей от 1:0,289 до 1:500 и углов конусов от 0,114° до 120°.

Настоящий стандарт не распространяется на конусности и углы конусов, связанные расчетными зависимостями с другими принятыми размерами, негладкие конические элементы деталей (призматические элементы, конические резьбы, конические зубчатые передачи и т.д.).

Правила указания размеров и допусков конических поверхностей на чертежах согласно ГОСТ 2.320.

Решение задачи

Даже простая задача о том, как изготовить ведро определенного объема, требует знаний. Например, необходимо рассчитать размеры ведра, чтобы оно имело объем 10 литров.

Дано:

V=10 л=10 дм3;

R₁=15 см;

R₂=25 см.

Развертка конуса имеет вид, схематически приведенный на рисунке 3.

L — образующая конуса.

Чтобы узнать площадь поверхности ведра, которая вычисляется по следующей формуле:

S=n*(R₁+R₂)*L,

необходимо вычислить образующую. Ее находим из величины объема V=n*(R₁2+R₂2+R₁*R₂)*H/3.

Отсюда H=3V/n*(R₁2+R₂2+R₁*R₂).

Усеченный конус образуется вращением прямоугольной трапеции, в которой боковая сторона является образующей конуса.

L2=(R_2-R₁)2+H2.

Теперь у нас имеются все данные, чтобы построить чертеж ведра.

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Несколько слов о рассчитываемых параметрах

Понять принцип расчета будет несложно, разобравшись со следующей схемой:

Усеченный конус с определяющими размерами и его развёртка. Показан усеченный конус, но с полным — принцип не меняется, а расчеты и построение становятся даже проще.

Итак, сам конус определяется радиусами оснований (нижней и верхней окружности) R1 и R2, и высотой Н. Понятно, что если конус не усеченный, то R2 просто равно нулю.

Буквой L обозначена длина боковой стороны (образующей) конуса. Она в некоторых случаях уже известна – например, требуется сделать конус по образцу или выкроить материал для обтяжки уже имеющегося каркаса. Но если она неизвестна – не беда, ее несложно рассчитать.

Справа показана развёртка. Она для усеченного конуса ограничена сектором кольца, образованного двумя дугами, внешней и внутренней, с радиусами Rb и Rs. Для полного конуса Rs также будет равен нулю. Хорошо видно, что Rb = Rs + L

Угловую длину сектора определяет центральный угол f, который в любом случае предстоит рассчитать.

Все расчеты займут буквально минуту, если воспользоваться предлагаемыми калькуляторами:

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S. Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π2. Соответственно, S’’5’’1 – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S16, S65, S54, S43, S32, S21. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S16 длина S1=S’’1’’, S6=S’’6’’1, 16=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
3. Находим положение точек A, B, C на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
4. Соединяем точки A, B, C плавной линией.

Решение задачи

Даже простая задача о том, как изготовить ведро определенного объема, требует знаний. Например, необходимо рассчитать размеры ведра, чтобы оно имело объем 10 литров.

Развертка конуса имеет вид, схематически приведенный на рисунке 3.

L — образующая конуса.

Чтобы узнать площадь поверхности ведра, которая вычисляется по следующей формуле:

необходимо вычислить образующую. Ее находим из величины объема V=n*(R₁ 2 +R₂ 2 +R₁*R₂)*H/3.

Усеченный конус образуется вращением прямоугольной трапеции, в которой боковая сторона является образующей конуса.

Теперь у нас имеются все данные, чтобы построить чертеж ведра.

Основные определения

Прямой круговой конус образован вращением прямоугольного треугольника вокруг одного катета. Как видно, понятие конуса не изменилось со времен Евклида.

Гипотенуза AS прямоугольного треугольника AOS при вращении вокруг катета OS образует боковую поверхность конуса, поэтому называется образующей. Катет OS треугольника превращается одновременно в высоту конуса и его ось. Точка S становится вершиной конуса. Катет AO, описав круг (основание), превратился в радиус конуса.

Если сверху провести плоскость через вершину и ось конуса, то можно увидеть, что полученное осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором ось является высотой треугольника.

Также часто требуется рассчитать площадь боковой поверхности тела вращения. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания и образующей конуса.

где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.

Формула для определения конусности

Провести самостоятельно расчет конусности можно при применении различных формул. Стоит учитывать, что в большинстве случаев показатель указывается в градусах, но может и в процентах – все зависит от конкретного случая. Алгоритм проведения расчетов выглядит следующим образом:

1. K=D-d/l=2tgf=2i. Данная формула характеризуется тем, что конусность характеризуется двойным уклоном. Она основана на получении значения большого и меньшего диаметра, а также расстояния между ними. Кроме этого определяется угол.
2. Tgf=D/2L. В данном случае требуется протяженность отрезка, который связывает большой и малый диаметр, а также показатель большого диаметра.
3. F=arctgf. Эта формула применяется для перевода показателя в градусы. Сегодня в большинстве случаев применяются именно градусы, так как их проще выдерживать при непосредственном проведении построений. Что касается процентов, то они зачастую указываются для возможности расчета одного из диаметров. К примеру, если соотношение составляет 20% и дан меньший диаметр, то можно быстро провести расчет большого.

Как ранее было отмечено, конусность 1:5 и другие показатели стандартизированы. Для этого применяется ГОСТ 8593-81.

На чертеже вычисления не отображаются. Как правило, для этого создается дополнительная пояснительная записка. Вычислить основные параметры довольно просто, в некоторых случаях проводится построение чертежа, после чего измеряется значение угла и другие показатели.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S. Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’₁ занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π₂. Соответственно, S’’5’’₁ – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S16, S65, S54, S43, S32, S21. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S16 длина S1=S’’1’’, S6=S’’6’’₁, 16=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’₁, SC=S’’C’’₁.
3. Находим положение точек A, B, C на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки SA=S’’A’’, SB=S’’B’’₁, SC=S’’C’’₁.
4. Соединяем точки A, B, C плавной линией.

Получение фигуры с помощью вращения

Перед тем как перейти к рассмотрению развертки поверхности конуса, полезно узнать, как с помощью вращения можно получить эту пространственную фигуру.

Предположим, что у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Первые две из них являются катетами, c — это гипотенуза. Поставим треугольник на катет a и начнем его вращать вокруг катета b. Гипотенуза c при этом опишет коническую поверхность. Эта простая методика получения конуса изображена ниже на схеме.

Очевидно, что катет a будет радиусом основания фигуры, катет b — его высотой, а гипотенуза c соответствует образующей круглого прямого конуса.

Особенности построения уклона и конусности

Область черчения развивалась на протяжении достаточно длительного периода. Она уже много столетий назад применялась для передачи накопленных знаний и навыков. Сегодня изготовление всех изделия может проводится исключительно при применении чертежей. При этом ему больше всего внимания уделяется при наладке массового производства. За длительный период развития черчения были разработаны стандарты, которые позволяют существенно повысить степень читаемости всей информации. Примером можно назвать ГОСТ 8593-81. Он во многом характеризует конусность и уклон, применяемые методы для их отображения. Начертательная геометрия применяется для изучения современной науки, а также создания различной техники. Кроме этого, были разработаны самые различные таблицы соответствия, которые могут применяться при проведении непосредственных расчетов.

Различные понятия, к примеру, сопряжение, уклон и конусность отображаются определенным образом. При этом учитывается область применения разрабатываемой технической документации и многие другие моменты.

К особенностям построения угла и конусности можно отнести следующие моменты:

1. Основные линии отображаются более жирным начертанием, за исключением случая, когда на поверхности находится резьба.
2. При проведении работы могут применяться самые различные инструменты. Все зависит от того, какой метод построения применяется в конкретном случае. Примером можно назвать прямоугольный треугольник, при помощи которого выдерживается прямой угол или транспортир.
3. Отображение основных размеров проводится в зависимости от особенностей чертежа. Чаще всего указывается базовая величина, с помощью которой определяются другие. На сегодняшний день метод прямого определения размеров, когда приходится с учетом масштаба измерять линии и углы при помощи соответствующих инструментов практически не применяется. Это связано с трудностями, которые возникают на производственной линии.

В целом можно сказать, что основные стандарты учитываются специалистом при непосредственном проведении работы по построению чертежа.

В проектной документации, в которой зачастую отображается конусность, при необходимости дополнительная информация выводится в отдельную таблицу.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S. Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π2. Соответственно, S’’5’’1 – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S16, S65, S54, S43, S32, S21. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S16 длина S1=S’’1’’, S6=S’’6’’1, 16=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
3. Находим положение точек A, B, C на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
4. Соединяем точки A, B, C плавной линией.

Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую

Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см 2 . Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?

Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:

r 2 + 14*r — 150/3,14 = 0

При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:

D = 14 2 — 4*1*(-150/3,14) = 387,0828

Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:

Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:

r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см

Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.

В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.

Нормальные углы и конусы инструментов

НОРМАЛЬНЫЕ УГЛЫ ( ГОСТ 8908-81 )

&nbsp Таблица не распространяется на угловые размеры конусов. При выборе углов 1-й ряд следует предпочитать 2-му, а 2-й — 3-му.

НОРМАЛЬНЫЕ КОНУСНОСТИ и УГЛЫ КОНУСОВ ( ГОСТ 8593-81 )

&nbsp Стандарт распространяется на конусности и углы конусов гладких конических элементов деталей.

&nbsp Примечание. Значения конусности или угла конуса, указанные в графе «Обозначение конуса», приняты за исходные при расчете других значений, приведенных в таблице. При выборе конусностей или углов конусов ряд 1 следует предпочитать ряду 2.

КОНУСЫ ИНСТРУМЕНТОВ УКОРОЧЕННЫЕ ( ГОСТ 9953-82 )

&nbsp Стандарт распространяется на укороченные инструментальные конусы Морзе.

&nbsp *z — наибольшее допускаемое отклонение положения основной плоскости, в которой находится диаметр D от теоретическогот положения. &nbsp ** размеры для справок.

КОНУСНОСТЬ НАРУЖНЫХ И ВНУТРЕННИХ КОНУСОВ И КОНУСОВ С РЕЗЬБОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ РАЗМЕРЫ ЦЕНТРОВОГО ОТВЕРСТИЯ УКОРОЧЕННОГО КОНУСА

КОНУСЫ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МОРЗЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ НАРУЖНЫЕ( ГОСТ 25557-2006 )

&nbsp Профиль резьбового отверстия соответствует отверстию центровому форма Р по ГОСТ ГОСТ 14034-74.

&nbsp В ГОСТ 25557-2006 все размеры центрового отверстия приводятся в общей таблице. Стандарт также определяет размеры пазов канавок и отвестий, необходимых для конструирования конусов, в случае подачи смазочно-охлаждающей жидкости (СОЖ) через инструмент.

&nbsp В зависимости от конструкции инструментальный хвостовик может иметь соответствующее обозначение:

BI — внутренний конус с пазом; BE — наружный конус с лапкой; AI — внутренний конус с отверстием по оси; АЕ — наружный конус с резьбовым отверстием по оси; BIK — внутренний конус с пазом и отверстием для подачи СОЖ; ВЕК — наружный конус с лапкой и отверстием для подачи СОЖ; AIK — внутренний конус с отверстием по оси и отверстием для подачи СОЖ; АЕК — наружный конус с резьбовым отверстием по оси и отверстием для подачи СОЖ.

КОНУСЫ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МОРЗЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ВНУТРЕННИЕ( ГОСТ 25557-2006 )

КОНУСЫ ВНУТРЕННИЕ И НАРУЖНЫЕ КОНУСНОСТЬЮ 7 : 24 ( ГОСТ 15945-82 )

&nbsp Допуски конусов внутренних и наружных конусностью 7:24 по ГОСТ 19860-93.

КОНУСЫ ИНСТРУМЕНТОВ Предельные отклонения угла конуса и допуски формы конусов ( ГОСТ 2848-75 )

&nbsp Степень точности инструментальных конусов обозначается допуском угла конуса заданной степени точности по ГОСТ 8908-81 и определяется предельными отклонениями угла конуса и допусками формы поверхности конуса, числовые значения которых указаны ниже.

&nbsp Примечания: &nbsp 1. Отклонения угла конуса от номинального размера располагав в «плюс» — для наружных конусов, в «минус» — для внутренних. &nbsp 2. ГОСТ 2848-75 для наружных конусов предусматривает также степени точности АТ4 и АТ5. Допуски по ГОСТ 2848-75 распространяются на конусы инструментов по ГОСТ 25557-2006 и ГОСТ 9953-82.

&nbsp Пример обозначения конуса Морзе 3, степени точности АТ8:

Морзе 3 АТ8 ГОСТ 25557-2006

&nbsp То же метрического конуса 160, степени точности АТ7:

Метр. 160 АТ7 ГОСТ 25557-2006

&nbsp То же укороченного конуса В18, степени точности АТ6:

Морзе В18 АТ6 ГОСТ 9953-82

ГОСТ 2848-75 — Конусы инструментов. Допуски. Методы и средства контроля ГОСТ 7343-72 — Конусы инструментов с конусностью 1:10 и 1:7. Размеры ГОСТ 10079-71 — Развертки конические с коническим хвостовиком под конусы Морзе. Конструкция и размеры ГОСТ 22774-77 — Конусы и трубки шлифовальные. Типы и размеры ГОСТ 25548-82 — Основные нормы взаимозаменяемости. Конусы и конические соединения. Термины и определения